dinhthi - các bài viết chuyên đề


	dinhthi - các bài viết chuyên đề

hình học fractal 1 thứ hình học mới lạ và hấp dẫn bạn đã biết gì về nó chưa?
đó là toàn bộ những điều đơn giainr nhất về fractal
Một hình thức giải trí sử dụng toán học.

Một Fractal là một vật thể hình học thường có hình dạng nhấp nhô trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy.
Từ fractal được nói đến lần đầu vào1975 bởi Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là "đứt gãy". Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là đường cong quỷ.

Một fractal là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy. Từ fractal được nói đến lần đầu vào1975 bởi Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là "đứt gãy". Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là đường cong quỷ.

Fractal ban đầu được nghiên cứu như một vật thể toán học. Hình học fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ngành này có ứng dụng trong khoa học, công nghệ, và nghệ thuật tạo từ máy tính. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.

Fractal tạo từ hình toán học

Một fractal Mandelbrot z_n+1 = z_n² + c

Fractal trông giống bông hoa

Một fractal của tập hợp Julia

Một fractal Mandelbrot khác

Vật thể tự nhiên có cấu trúc fractal

Kéo hai tấm nhựa trong suốt có dính keo ra khỏi nhau, ta có được một cấu trúc fractal.

Phóng điện cao thế trong một khối nhựa trong suốt, ta thu được hình Lichtenberg có cấu trúc fractal.

Các vết nứt có cấu trúc fractal trên bề mặt đĩa DVD, sau khi đưa đĩa này vào lò vi sóng

Xúp lơ xanh Romanesco có những cấu trúc fractal tự nhiên

Định nghĩa. Việc định nghĩa các đặc tính của fractal, có vẻ dễ dàng với trực quan, lại cực kỳ khó với đòi hỏi chính xác và cô đọng của toán học.

Mandelbrot đã định nghĩa fractal là "một tập hợp mà trong đó chiều Hausdorff-Besicovitch lớn hơn chiều tôpô học". Chiều Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo kích thước của fractal, thường không phải là một số tự nhiên. Một hình vẽ fractal trên tờ giấy 2 chiều có thể bắt đầu có những tính chất của vật thể trong không gian 3 chiều, và có thể có chiều Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một fractal hoàn toàn tự đồng dạng, chiều Hausdorff sẽ đúng bằng chiều Minkowski-Bouligand.

ĐÂY LÀ BÀI VIẾT NHỎ CỦA BẠN NGUYỄN HUỲNH KHÔI NGUYÊN 10 TOÁN 1

Người được coi đã khai sinh thuật ngữ hình họa Fractal 30 năm trước là nhà toán học Benoit Mandelbrrot. Tuy nhiên, hãy nghiên cứu một cách đơn giản nhất đối với hình họa phức tạp này thông qua phần mềm Fractal Explorer của nhóm tác giả do hai người Ukraine chủ xướng là Sirotinsky Athur và Olga Fedorenko. Chương trình có dung lượng nén 1,46 MB. Tương thích từ Windows 98 trở lên. Tải miễn phí từ địa chỉ www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/index.html.

Giải nén và bấm vào file fe.exe để sử dụng ngay mà không cần cài đặt. Giao diện thân thiện, cung cấp cho chúng ta 148 hình Fractal mẫu, từ đó thông qua chương trình chúng ta có thể tha hồ tùy biến theo ý thích.

Mô tả tổng quan

Cửa sổ chương trình gồm thanh menu chứa tất cả các lệnh cho chương trình thực hiện. Dưới thanh menu là thanh công cụ, giúp người dùng nhanh chóng thao tác. Chúng ta sẽ làm việc chủ yếu với các nút công cụ này. 5 nút công cụ đầu tiên tính từ trái sang dùng để gọi ra 5 dạng hình họa Fractal chuẩn bao gồm:

- 2D Fractal (những hình cơ bản theo thuật toán Mandelbrrot, Julia...).
- IFS (Iterated Fractal System): Hệ thống các hình trùng lặp.
- Attractor: Dạng 3D khá hấp dẫn.
- Quaternion: Hay còn gọi 4D Fractal.
- Orbita: Các hình sắp xếp theo quỹ đạo.

Minh họa thao tác

Thực hành với Fractal Explorer khá đơn giản. Thông qua đó có thể phần nào hiểu được hình họa Fractal và sáng tạo nên những hình ảnh, những đoạn phim ngoạn mục.

- Chọn Quaternion để đại diện. Bấm nút công cụ thứ tư có hình chữ Q. Xuất hiện một khung hình, nền đen với một vật thể nổi màu vàng.

- Bấm nút công cụ thứ 11 (Select Fractal) hình căn bậc hai của Alpha. Gọi ra hộp Select Quaternion. Phía trái của hộp này là thẻ Internal chứa các công thức minh họa cho hình ảnh. Khi bấm chuột vào công thức nào thì phía bên phải góc dưới cùng sẽ hiển thị hình ảnh tương ứng. Có thể tùy biến công thức bằng cách dùng thẻ Formula Editor, khi chọn thẻ này sẽ có một Tooltip màu vàng hiển thị, hướng dẫn chúng ta cách tạo công thức mới.

- Phía bên phải của hộp Select Quaternion cho phép tùy biến các tham số để điều chỉnh hình theo ý thích. Ví dụ như trong khung Rotation chúng ta quy định tham số là X=10; Y=20; Z=30 rồi bấm nút Select bạn sẽ cảm nhận được sự đổi khác của hình dạng.

- Quay trở lại hộp Select Quarternion ở phần Parameters, khung Functions, bấm chọn các quy định khác nhau trong đó, gợi ý là nên chọn Qrecip. Bấm Load lights để có hộp Select quaternion project, chọn thư mục Example, chọn quaternion8.fr4. Bấm Select để xem kết quả.

- Muốn lưu thành file hình ảnh bấm menu File save image chỉ vị trí lưu và đặt tên cho ảnh đó.

- Bấm menu Animation chọn Quaternion Rotation để gọi ra hộp Rotation clip setup, bấm chọn một trong 9 hướng của hộp này. Bấm OK để có AVI setup muốn tần số lấy mẫu bao nhiêu frame thì quy định trong Frame rate. Thanh trượt Time of each frame quy định tốc độ nhanh chậm khoảng cách giữa hai khung hình. Count of the frame quy định số khung hình. Xong bấm Start Rendering. Khi hộp Save movie as xuất hiện, chỉ vị trí lưu đoạn phim này và đặt tên cho nó, bấm save rồi bấm tiếp OK. Sau khi hoàn thành hãy bấm Play AVI để xem đoạn phim hết sức ngoạn mục.

Trên đây là những nét căn bản khi làm việc với phần mềm này. Hy vọng bạn sẽ tạo ra những hình ảnh, đoạn phim hấp dẫn.

Ngay trên Website A&O Forgotten nơi chúng ta tải phần mềm miễn phí này và cả mã nguồn của nó, bạn còn có thể tham khảo Gallery-Bộ sưu tập các hình ảnh Fractal tuyệt đẹp và có thể tải về các WebShots là bộ sưu tập Fractal mẫu với các hình ảnh Fractal nghệ thuật

1)(Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên).Cho a,b,c>0 thỏa ab+bc+ca+abc=4.Chứng minh bdt

$sqrt[4]{a^2+15}+sqrt[4]{b^2+15} +sqrt[4]{c^2+15} geq sqrt[4]{1242+54sqrt[3]{(abc)^2}}$

2)(Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên&Đào Duy Hoàng)

Cho a,b,c>0 thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ .Chứng minh bdt

$sqrt[4]{a^3+frac{4}{3}} +sqrt[4]{b^3+frac{4}{3}}+ sqrt[4]{c^3+frac{4}{3}} geq sqrt[4]{(a+b+c)^3+27(sum{a^2b}+sum{ab^2})}$

Với $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n,c_1,c_2,..,c_n$ là các số dương. k là số tự nhiên, $k geq t$ và $k geq 3$ .Ta có

$sqrt[k]{a_1^t + a_2^t +...+ a_n^t}+sqrt[k]{b_1^t+ b_2^t +...+b_n^t}+sqrt[k]{c_1^t + c_2^t +...+ c_n^t}$

$geq sqrt[k]{ (a_1+ b_1 +c_1)^t +(a_2 +b_2 +c_2)^t +...+ (a_n+b_n+c_n)^t + (3^k-3^t)(sqrt[3]{(a_1 b_1 c_1)^t}+sqrt[3]{(a_2 b_2 c_2)^t} +...+ sqrt[3]{(a_n b_n c_n)^t})}$

(Tư tưởng chứng minh không khác gì ở bài đầu tiên)

Với $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n,c_1,c_2,..,c_n$ là các số dương. t là số tự nhiên nhỏ hơn 5.Ta có bdt

$sqrt[4]{a_1^t + a_2^t +...+ a_n^t}+sqrt[4]{b_1^t+ b_2^t +...+b_n^t}+sqrt[4]{c_1^t + c_2^t +...+ c_n^t}$

$geq sqrt[4]{ (a_1+ b_1 +c_1)^t +(a_2 +b_2 +c_2)^t +...+ (a_n+b_n+c_n)^t + (81-3^t)(sqrt[3]{(a_1 b_1c_1)^t}+sqrt[3]{(a_2 b_2 c_2)^t} +...+ sqrt[3]{(a_n b_n c_n)^t})}$

Với $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n,c_1,c_2,..,c_n$ là các số dương.Ta có bdt

$sqrt[4]{a_1^3 + a_2^3 +...+ a_n^3}+sqrt[4]{b_1^3+ b_2^3 +...+b_n^3}+sqrt[4]{c_1^3 + c_2^3 +...+ c_n^3}$

$geq sqrt[4]{ (a_1+ b_1 +c_1)^3 +(a_2 +b_2 +c_2)^3 +...+ (a_n+b_n+c_n)^3 +54(a_1 b_1 c_1 +a_2 b_2 c_2 +...+ a_n b_n c_n) }$

Việc chứng minh bài này tương tự như bài trước

1.Với a,b,c,x,y,z>0.Ta có bất đẳng thức

$sqrt[4]{a^3+x^3}+sqrt[4]{b^3+y^3}+sqrt[4]{c^3+z^3} geq sqrt[4]{(a+b+c)^3+(x+y+z)^3+54(abc+xyz)}$

Chứng minh: sau khi mũ 4 hay vế,khai triển và rút gọn ta được bdt tương đương

$6(sqrt{(a^3+x^3)(b^3+y^3)}+sqrt{(b^3+y^3)(c^3+z^3)}+sqrt{(c^3+z^3)(a^3+x^3)}+ 4(sqrt[4]{(a^3+x^3)^3(b^3+y^3)}+sqrt[4]{(b^3+y^3)^3(c^3+z^3)}+sqrt[4]{(c^3+z^3)^3(a^3+x^3)} +12(sqrt[4]{(a^3+b^3)^2(b^3+y^3)(c^3+z^3)}+sqrt[4]{(b^3+y^3)^2(c^3+z^3)(a^3+x^3)}+sqrt[4]{(c^3+z^3)^2(a^3+x^3)(b^3+y^3)} geq 3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+xz^2)+60(abc+xyz) (*)$

Dùng dt CBS suy rộng cho 4 dãy ta được

VT(*)

$geq 6(sqrt{a^3b^3}+sqrt{x^3y^3}+sqrt{b^3c^3}+sqrt{y^3z^3}+sqrt{c^3a^3}+sqrt{z^3x^3})+4(sqrt[4]{a^9b^3}+sqrt[4]{x^9y^3}+sqrt[4]{a^9c^3}+sqrt[4]{x^9z^3}+sqrt[4]{b^9c^3}+sqrt[4]{y^9z^3}+sqrt[4]{b^9a^3}+sqrt[4]{y^9x^3}+sqrt[4]{c^9a^3}+sqrt[4]{z^9x^3}+sqrt[4]{c^9b^3}+sqrt[4]{z^9y^3})+12(sqrt[4]{a^6b^3c^3}+sqrt[4]{x^6y^3z^3}+sqrt[4]{b^6c^3a^3}+sqrt[4]{y^6z^3x^3}+sqrt[4]{c^6a^3b^3}+sqrt[4]{z^6x^3y^3}$

$= 6sum{sqrt{a^3b^3}}+4sum{sqrt[4]{a^9b^3}}+4sum{sqrt[4]{a^3b^9}}+12sum{sqrt[4]{a^6b^3c^3}}+6sum{sqrt{x^3y^3}}+4sum{sqrt[4]{x^9y^3}}+4sum{sqrt[4]{x^3y^9}}+12sum{sqrt[4]{x^6y^3z^3}}$

Giờ ta chứng minh bdt sau

$6sum{sqrt{a^3b^3}}+4sum{sqrt[4]{a^9b^3}}+4sum{sqrt[4]{a^3b^9}}+12sum{sqrt[4]{a^6b^3c^3}} geq 3sum{a^2b}+3sum{ab^2}+60abc(**)$

bdt(**) được chứng minh từ các bdt sau

a) $frac{5}{2}.(sum{sqrt[4]{a^9b^3}}+sum{sqrt[4]{a^9c^3}} geq frac{5}{2}.(sum{sqrt[4]{a^7b^5}}+sum{sqrt[4]{a^7c^5}})$

b) $frac{3}{2}.(sum{sqrt[4]{a^9b^3}}+sum{sqrt[4]{b^9a^3}} + sum{sqrt[4]{a^7b^5}} + sum{sqrt[4]{a^5b^7}}) geq 3(sum{a^2b}+sum{ab^2})$

c) $sum{sqrt[4]{a^7b^5}} + sum{sqrt[4]{a^5b^7}} geq 6abc$

d) $6sum{sqrt{a^3b^3}} geq 18abc$

e) $12sum{sqrt[4]{a^6b^3c^3}} geq 36abc$

C/m bdt a)

Áp dụng bdt AM-GM ta có

$2sqrt[4]{a^9b^3}+sqrt[4]{a^3b^9} geq 3sqrt[4]{a^7b^5}$

$2sqrt[4]{a^3b^9}+sqrt[4]{a^9b^3} geq 3sqrt[4]{a^5b^7}$

Thiết lập các bdt tương tự và cộng vế theo vế thì chứng minh được a)

Chứng minh bdt b)

Ta có

$sqrt[4]{a^9b^3}+sqrt[4]{a^7b^5} geq 2a^2b$

$sqrt[4]{a^3b^9}+sqrt[4]{a^5b^7} geq 2ab^2$

Thiết lập các bdt tương tự và cộng vế theo vế ta chứng minh được b)

Bdt c,d,e chứng minh không khó

Cộng các bdt a,b,c,d,e vế theo vế ta được

$6sum{sqrt{a^3b^3}}+4sum{sqrt[4]{a^9b^3}}+4sum{sqrt[4]{a^3b^9}}+12sum{sqrt[4]{a^6b^3c^3}} geq 3sum{a^2b}+3sum{ab^2}+60abc(**)$

Chứng minh tương tự cho các biến x,y,z ta cũng có

$6sum{sqrt{x^3y^3}}+4sum{sqrt[4]{x^9y^3}}+4sum{sqrt[4]{x^3y^9}}+12sum{sqrt[4]{x^6y^3z^3}} geq 3sum{x^2y}+3sum{xy^2}+60xyz(***)$

cộng 2bdt (**) và (***) ta được dpcm

vậy bài toán được chứng minh xong

Những gam màu lạ tô điểm cho những hình vẽ cũng lạ lùng không kém. Trông có vẻ xa xôi diệu vợi, nhưng hình như chúng ta đã từng một lần chiêm ngưỡng. Đó là những hình họa Fractal mà có người gọi là toán họa hay tin họa. Đó là sự kết hợp độc đáo giữa toán học và tin học để thông qua máy tính cho ra những bức tranh siêu thực.