dinhthi - chân dung các nhà toán học


	dinhthi - chân dung các nhà toán học

Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu như sau:

Không tồn tại các nghiệm nguyên phi không x, y, và z thoả $x n + y n = z n$ trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ. Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan.

Bài toán II.8 trong Arithmetica của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670).

Pierre_de_Fermat.jpg‎

Quá trình giải của Andrew Wiles

Tháng 5 năm 1993, "crucial breakthrough", Wiles khoe với phu nhân là đã giải được rồi.
Tháng 6 năm 1993, "Elliptic Curves and Modular Forms", Wiles lần đầu tiên công bố là ông đã giải được Định lý lớn Fermat.
Tháng 7-8 năm 1993, Nick Katz (đồng nghiệp) trao đổi email với Wiles về những điểm chưa hiểu rõ, trong đó nhắc rằng trong chứng minh của ông có 1 sai lầm căn bản.
Tháng 9 năm 1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa. Sinh nhật phu nhân ngày 6 tháng 10, bà nói chỉ cần quà sinh nhật là một chứng minh đúng. Wiles cố hết sức nhưng không làm được.
Tháng 11 năm 1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần đó của chứng minh.
Sau nhiều tháng thất bại, Wiles sắp chịu thua. Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ. Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, tới Princeton cùng nghiên cứu với ông.

Andrew Wiles.

Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưng vô hiệu.
Tháng 9 năm 1994, ông quay lại nghiên cứu một vấn đề căn bản mà chứng minh của ông được dựa trên đó
Ngày 19 tháng 9 năm 1994 phát hiện cách sửa chữa chỗ trục trặc đơn giản và đẹp, dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm 3 năm trước. Sau khi coi lại cẩn thận, ông mừng rỡ nói với phu nhân là đã làm được.
Tháng 5 năm 1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Princeton University).
Tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Boston University, giới toán học công nhận chứng minh là đúng.

Giả thuyết tổng quát

Phương trình $x_1 ^n + x_2 ^n + ... +x_k ^n = z ^n$ với n nguyên, n>2, k $ge$ 2 không có nghiệm nguyên khác không.

Giả thuyết tổng quát này hiện vẫn chưa được chứng minh, kiểm chứng.

Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat).

Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.

Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.

Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện độc nhất vô nhị trong lịch sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng (sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ.

Xét phương trình Pythagore:

$x^2 + y^2 = z^2,$

Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng:

$3^2 + 4^2 = 5^2,$

và

$5^2 + 12^2 = 13^2,$

Nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này:

$x^3 + y^3 = z^3,$

Ông đặt câu hỏi: có thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba này hay không? Ông khẳng định là không. Thực ra, ông khẳng định điều đó cho họ phương trình tổng quát:

$x^n + y^n = z^n,$

Xét phương trình Pythagore:

$x^2 + y^2 = z^2,$

Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng:

$3^2 + 4^2 = 5^2,$

và

$5^2 + 12^2 = 13^2,$

Nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này:

$x^3 + y^3 = z^3,$

$x^n + y^n = z^n,$

trong đó n lớn hơn 2 không thể tìm được nghiệm (nguyên) nào. Đó là Định lý Fermat cuối cùng.

Bên phải lề giấy là dòng chữ nổi tiếng của Fermat

Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat ghi bên lề một cuốn sách mà không chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ: "Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp."!!

Các nhà toán học đã cố gắng giải bài toán này trong suốt 300 năm. Trong lịch sử đi tìm lời giải cho định lý cuối cùng của Fermat có người phải tự tử và có cả sự lường gạt... Và cuối cùng nhà toán học Andrew Wiles (một người Anh, định cư ở Mỹ, sinh 1953) sau 7 năm làm việc trong cô độc và 1 năm giày vò trong cô đơn đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang.

Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp. Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân. Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Với 2 số:

$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b

Với n số:

$frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} geq sqrt[n]{x_1.x_2. ... .x_n}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1 = x_2 = ... = x_n,$

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy–Schwarz , còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz , bất đẳng thức Cauchy , hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovski–Schwarz, đặt theo tên của Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

$|langle x,yrangle|^2 leq langle x,xrangle cdot langle y,yrangle.$

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong

$|langle x,yrangle| leq |x| cdot |y|.,$

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.

Chứng minh

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử $λ$ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

$0 leq left| x-lambda y right|^2 = langle x-lambda y,x-lambda y rangle = langle x,x rangle - lambda langle x,y rangle - bar{lambda} langle y,x rangle + |lambda|^2 langle y,yrangle.$

Chọn $lambda = langle y,x rangle cdot langle y,y rangle^{-1}$

chúng ta được $0 leq langle x,x rangle - |langle x,y rangle|^2 cdot langle y,y rangle^{-1}$

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

$|langle x,y rangle|^2 leq langle x,x rangle cdot langle y,y rangle$

hay tương đương:

(điều phải chứng minh)

Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Trong trường hợp không gian Euclide Rⁿ, bất đẳng thức này trở thành

$left(sum_{i=1}^n x_i y_iright)^2leq left(sum_{i=1}^n x_i^2right) left(sum_{i=1}^n y_i^2right).$ . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: $|mathbf{x} cdot mathbf{y}| = |mathbf{x}| |mathbf{y}| |cos theta| le |mathbf{x}| |mathbf{y}|$ . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

$langle x,xrangle cdot langle y,yrangle = |langle x,yrangle|^2 + |x times y|^2.$

Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz $frac {(a_1 + a_2 + ...+a_{n-1}+ a_n)^2}{b_1 + b_2 + ..+ b_{n-1} + b_n} leq frac {a_1^2}{b_1} + frac {a_2^2}{b_2} +...+ frac {a_{n-1}^2}{b_{n-1}} + frac {a_n^2}{b_n}$

Một vài ứng dụng

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: cho các vector x và y,

$|x + y|^2$ $= langle x + y, x + y rangle$

$= |x|^2 + langle x, y rangle + langle y, x rangle + |y|^2$

$le |x|^2 + 2|langle x, y rangle| + |y|^2$

$le |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2$

$le left(|x| + |y|right)^2$

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel.

Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết Cô-si) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris. Ông vào học Trường Bách Khoa Pháp (École Polytechnique) lúc 16 tuổi. Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học. Ông dạy toán ở Trường Bách Khoa và thành hội viên Hàn Lâm Viện Khoa Học Pháp.